SEMANA 14 MATEMÁTICAS EMILSE

23 AL 27 DE ABRIL

Algunas reglas a tener en cuenta en la potenciación de números naturales.
Talleres de aplicación a las propiedades de la potenciación, se harán en clase.

Cuadrados y cubos perfectos

Cuando el exponente de la operación es igual a ${\displaystyle 2}$ se dice que la base se eleva al cuadrado. A los números que son el resultado (potencia) de elevar una base al cuadrado se les llama cuadrados perfectos.

${\displaystyle 196}$ es un cuadrado perfecto porque es el resultado de elevar el número 14 al cuadrado: ${\displaystyle 14^{2}=196}$

Si el exponente es igual a ${\displaystyle 3}$, se dice que la base se eleva al cubo y a la potencia (resultado) se le llama cubo perfecto.

${\displaystyle 729}$ es un cubo perfecto porque es el resultado de elevar el número 9 al cubo: ${\displaystyle 9^{3}=729}$

Exponentes especiales: 0 y 1

La potenciación en el conjunto de los números naturales tiene varios casos especiales:

• Cuando el exponente es igual a 1, el resultado de la operación siempre es igual a la base.

Si ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$, entonces ${\displaystyle a^{1}=a}$

Por ejemplo:

• ${\displaystyle 0^{1}=0}$
• ${\displaystyle 1^{1}=1}$
• ${\displaystyle 2^{1}=2}$
• ${\displaystyle 3^{1}=3}$
• ${\displaystyle 10^{1}=10}$
• ${\displaystyle 47^{1}=47}$

• Cuando el exponente es igual a 0 y la base es diferente de 0, el resultado de la operación siempre es igual a 1.

Si ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$ y ${\displaystyle a\neq 0}$, entonces ${\displaystyle a^{0}=1}$

Por ejempo:

• ${\displaystyle 1^{0}=1}$
• ${\displaystyle 2^{0}=1}$
• ${\displaystyle 3^{0}=1}$
• ${\displaystyle 10^{0}=1}$
• ${\displaystyle 47^{0}=1}$

• La operación ${\displaystyle 0^{0}}$ no está definida en ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Es decir, su resultado no corresponde a ningún número natural.

A continuación puedes ver las diferentes leyes de potencias, su fórmula general y un ejemplo ilustrativo.

Nombre	Regla	Ejemplo
Potencia de una multiplicación	${\displaystyle (a\times b)^{m}=a^{m}\times b^{m}}$	${\displaystyle (5\times 8)^{4}=5^{4}\times 8^{4}}$
Potencia de una división	${\displaystyle (a\div b)^{m}=a^{m}\div b^{m}}$ O en forma de fracción: ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}$	${\displaystyle \left({\frac {35}{5}}\right)^{3}={\frac {35^{3}}{5^{3}}}}$
Potencia de una potencia	${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\times n}}$	${\displaystyle (5^{2})^{3}=5^{2\times 3}=5^{6}}$
Multiplicación de potencias de igual base	${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$	${\displaystyle 3^{4}\times 3^{3}=3^{4+3}=3^{7}}$
División de potencias de igual base	${\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}$ O en forma de fracción: ${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$	${\displaystyle {\frac {7^{7}}{7^{5}}}=7^{7-5}=7^{2}}$

 La división de potencias de igual base solo tiene solución en el conjunto de los números naturales (${\displaystyle \mathbb {N} }$) cuando el exponente en el numerador es mayor o igual al exponente en el denominador (${\displaystyle m\geq n}$). Los casos en los que el exponente en el denominador es mayor al exponente en el numerador (${\displaystyle m<n}$) no tienen solución en ${\displaystyle \mathbb {N} }$ pero se pueden resolver usando el conjunto de los números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$).

NOTA IMPORTANTE A TENER EN CUENTA:

RESUMIENDO TENEMOS:

Reglas importantes de la potenciación

1. Cualquier número elevado a la 0 es igual a 1.

250 = 1 y 0.027641870 = 1

2. Cualquier número elevado a la 1 es el mismo número.

51 = 5 y -2181 = -218

3. Un número elevado a un exponente negativo es igual a su recíproco (es decir, inviertes la fracción) y cambia el exponente de negativo a positivo.

4. Recuerda seguir el PEMDAS, el orden de las operaciones.

-62 y (-6)2 son dos problemas diferentes:

El primero, -62, significa que hay que tomar el negativo de 62. La respuesta es el negativo de 36, es decir, -36.

El segundo problema es el cuadrado de -6, es decir, -6 × -6 que es igual a 36.