El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.
Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos:
Múltiplo: Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.
Vamos a ver un ejemplo de los multiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 o el 3 por 1, por 2, por 3, etc.
2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 y así sucesivamente hasta infinitos números.
3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 y así sucesivamente hasta infinitos números.
Múltiplo Común: Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más números, es decir, es un múltiplo común a esos números.
Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de 3.
Habrá que ver qué múltiplos tienen en común el dos y el tres, que en la imagen figuran en verde, es decir, el 6, el 12 y el 18. Hay que tener en cuenta que los múltiplos son infinitos y que nosotros solo hemos mostrados los primeros de cada número.
Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes.
1. Siguiendo con el ejemplo anterior, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18, el mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes.
A continuación vamos a ver cómo calcular el mínimo común múltiplo. Se pueden utilizar dos métodos.
El primer método para calcular el m.c.m es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.
El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de todos los múltiplos comunes de 2 o más números.
2. Para calcular el m.c.m de varios números se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1, si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida.
TALLER DE APLICACIÓN BUSCANDO EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO CON EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL CONTEXTO INMEDIATO
2 AL 6 DE JULIO
NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS
Al comprobar cuántos divisores tienen los números observamos que:
• Hay números que solo tienen dos divisores (el 1 y ellos mismos): son los números primos • Hay números que tienen más de dos divisores: los números compuestos.
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales.
Son múltiplos de 2 los números 0, 2, 4, 6, 8, 10,12, 14... y muchos más.
Se obtienen al multiplicar 2x0, 2x1, 2x2, 2x3, etc.
Escribimos así los múltiplos de 2. → m (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.... }
Son múltiplos de 3 los números 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21...
Se obtienen al multiplicar 3x0, 3x1, 3x2, 3x3, etc.
Lo escribimos así → m (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,.... }
¡OBSERVA!
Los múltiplos de un número son infinitos, como infinitos son los números naturales.
Un múltiplo siempre es un número mayor
El número 0 es múltiplo de todos los números (porque al multiplicar cualquier número por cero siempre nos da cero de resultado)... es algo extraño, pero así son las cosas relacionadas con el número 0.
Divisores
Calcular los divisores de un número
Los divisores de un número natural son los números que lo pueden dividir en una división exacta.
3 es divisor de 12 porque 12 : 3 = 4 es una división exacta.
5 es divisor de 20 porque 20 : 5 = 4 también es una división exacta.
Ser divisor es justamente lo inverso a ser múltiplo.
Si 3 es divisor de 12, entonces 12 es múltiplo de 3.
Si 5 es divisor de 20, entonces 20 es múltiplo de 5.
Algunos ejemplos más:
Son divisores de 8 los números 1, 2, 4 y 8. Lo escribimos: d (8) = {1, 2, 4 y 8}
Son divisores de 35 los números 1, 5, 7, 35, es decir: d (35) = {1, 5, 7, 35}
d (66) = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}
d (13) = {1 y 13}
Reflexión
Todo número tiene al menos dos divisores:
El número 1, porque el uno es divisor de todos los números.
Él mismo, porque cualquier número es divisor de sí mismo.
Criba de Eratóstenes
La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para determinar todos los números primos hasta cierto número natural dado. Esto se hace recorriendo una tabla de números usando el siguiente procedimiento:
La criba de Eratóstenes
La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para determinar todos los números primos hasta cierto número natural dado. Esto se hace recorriendo una tabla de números usando el siguiente procedimiento:
Empezamos en el número 2, resaltamos el número 2 como primo pero tachamos todos los múltiplos de 2 (es decir, tachamos 4, 6, 8, etc.).
Se continua con el siguiente número no tachado en la tabla, en este caso el número 3, resaltamos el número 3 como primo y tachamos todos los múltiplos de 3 (es decir tachamos 6, 9, 12, etc.).
El siguiente número no tachado en la tabla es el 5, resaltamos el número 5 como primo y tachamos todos los múltiplos de 5 (es decir tachamos 10, 15, 20, etc.).
Lo hacemos también con el 7 y tachamos todos sus múltiplos hasta el 200.
APLICACIÓN DEL EXÁMEN TIPO ICFES DE FINAL DE PERÍODO DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS
Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más factores primos.
Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos:
1° Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (actúa como "ventana" de división) y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto.
2° Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.
Ejemplo 1: Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 24:
Los números que están a la izquierda de la línea, son los cocientes parciales y los de la derecha, son los factores primos.
Recuerda que siempre debes comenzar por el menor número primo por el cual, el número que te están preguntando, sea divisible.
Ejemplo 2: Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 60:
Ejemplo 3: Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 180:
Debes recordar :
-Números primos: Un número natural distinto de 1 es número primo si solo tiene como divisores la unidad y el mismo número. Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11. 13, 17, 19, 23, 29, ...
- Números compuestos: Un número natural es compuesto si tiene otros divisores además del 1 y del mismo número. Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,...
- Factor: Es un número que se multiplica por otro para hallar un producto.
- Factores comunes: son factores de dos o más números.
MEDIDAS DE LONGITUD
La longitud determina la distancia que hay entre dos puntos, o dicho de otra manera, longitud es la cantidad de espacio que hay entre dos puntos. Por ejemplo, la distancia que hay entre mi casa y el colegio, o la distancia de un extremo de la mesa al otro.
La unidad principal para medir la longitud es el metro. Por ejemplo, un metro es lo que mide de largo una guitarra.
1 metro
Pero, ¿qué hago si quiero medir objetos mucho más pequeños? ¿U objetos mucho más grandes?
Para eso tenemos más medidas de longitud: los múltiplos y los submúltiplos del metro.
Los múltiplos son las unidades de medida más grandes que el metro. Son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro. Hay más pero de momento solo vamos a ver estas.
Los submúltiplos son las unidades de medida más pequeñas que el metro. Son el decímetro, el centímetro y el milímetro.
En la siguiente tabla se muestran las medidas de longitud:
Para que tengas una idea aproximada de las distancias que miden los múltiplos y los submúltiplos vamos a ver los siguientes ejemplos:
La distancia entre Málaga y Santander es de aproximadamente 900 kilómetros.
La longitud de un campo de fútbol es de aproximadamente 1 hectómetro.
La longitud de un autobús es de aproximadamente 1 decámetro.
La altura de una botella de agua es de aproximadamente 2 decímetros.
La longitud de una pelota de tenis es de aproximadamente 6 centímetros.
Para convertir las unidades de longitud, es importante conocer su simbología y equivalencias:
km = kilómetro
hm = hectómetro
dam = decámetro
m = metro
dm = decímetro
cm = centímetro
mm = milímetro
Ahora, observa el siguiente gráfico:
Además debes saber :
*Las unidades mayores se ubican hacia la izquierda y las unidades menores, a la derecha. Por tanto, si quiero convertir m a km, estaría convirtiendo una unidad menor a una unidad mayor, también si convierto mm a dm, estaría convirtiendo una unidad menor a otra mayor. Por el contrario, si convierto km a dam, estaría convirtiendo una unidad mayor a otra menor, también, si convierto m a mm, estaría convirtiendo una unidad mayor a otra menor.
Conozcamos algunas equivalencias:
1 m = 10 dm 1 km = 1000 m
1 m = 100 cm 1 hm = 100 m
1 m = 1000 mm 1 dam = 10 m
Procedimiento para convertir unidades de longitud:
1.Ubica la unidad que vas a convertir y la unidad convertida en el gráfico:
Convertir 23 m a mm
Cuando conviertes 23 m a mm, estás convirtiendo una unidad mayor a otra menor, observa que el único camino que podemos usar son las flechas de arriba, estas me indican que se multiplica .10 .10 .10 esto es igual a 1000.
2. Por tanto 23 m a mm será: 23.1000 = 23000 mm
3. Podemos concluir, que cuando convertimos una unidad mayor a otra menor, se multiplica.
OTRO EJEMPLO:
Convertir 28000 dm a dam
1. Ubica la unidad que vas a convertir y la unidad convertida en el gráfico:
Cuando conviertes 28000 dm a dam, estás convirtiendo una unidad menor a otra mayor, observa que el único camino que podemos usar son las flechas de abajo, estas me indican que se divide :10 :10 esto es igual a :100
2. Por tanto 28000 dm a dam será: 28000:100 = 280 dam
3. Podemos concluir, que cuando convertimos una unidad menor a otra mayor, se divide.
ALGUNOS EJERCICIOS:
1. Convierte a la unidad indicada entre paréntesis:
Ejemplo:
56 dm (mm)
56. 100 = 5600 mm
a. 240000 m (km)
b. 36 dm (mm)
c. 78000 mm (m)
2. Convierte a la mayor unidad de medida posible sin usar la coma decimal
Ejemplo:
23000 m
23000 : 1000 = 23 km
a. 57000 cm
b. 3600 m
c. 4900000 mm
3. Escribe la unidad mayor y la unidad menor siguiente :
- Ángulos consecutivos: Los ángulos consecutivos tienen en común un vértice y un lado.
- Ángulos adyacentes: Los ángulos adyacentes son ángulos consecutivos que tienen los lados no comunes en la misma recta.: - Ángulos opuestos por el vértice: - Ángulos opuestos por el vértice: tienen el vértice común y sus lados están sobre las mismas rectas. Dos rectas que se cortan determinan dos parejas de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo.
Dos rectas que se cortan reciben el nombre de secantes.
Nota: Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Clases de ángulos según su suma
Según la suma de sus medidas dos ángulos pueden ser :
- Ángulos complementarios: - Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90°.
- Ángulos suplementarios:- Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180°.
Ejemplos:
El complemento de un ángulo de 28° es un ángulo de 62°. Ya que 28° + 62° = 90°
El complemento de un ángulo 40° es un ángulo de 50°. Ya que 40° + 50° = 90°
El suplemento de un ángulo de 18° es un ángulo de 162°. Ya que 18° + 162° = 180°
El suplemento de un ángulo de 136° es un ángulo de 44°. Ya que 136° + 44° = 180°
- El truco está en acordarse que para calcular el ángulo complementario de uno o unos ángulos dados deberemos restarle a 90° su amplitud/es y para calcular el ángulo suplementario, habrá que restarle a 180° su amplitud/es.
REPASO DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA Y ELABORACIÓN DE TALLER EN EQUIPO REALIZANDO MEDICIONES,APLICADO AL TEMA
Definición de ángulo
Se llama ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado del ángulo.
- Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.
- El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.
Hoy hablaremos de los ángulos agudo, recto y obtuso.
2- Tipos de ángulos según su medida
Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso>90°
2.1- Ángulos rectos
Un ángulo recto es un ángulo que mide 90°. Si te das cuenta, en la esquina del ángulo hay un símbolo especial, una caja. Si ves ese símbolo, el ángulo es recto. No se suele escribir el 90°. Si ves la caja en la esquina ya te están diciendo que es un ángulo recto.
Un ángulo recto puede estar en cualquier orientación o giro, lo que importa es que el ángulo interior sea 90°
2.2- Ángulos agudos
Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90°.
Acuérdate de fijarte en cuál de los dos ángulos es al que se refiere uno. Si el ángulo pequeño es menor que 90°, entonces ese es agudo.
2.3- Ángulos obtusos
Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°.
Acuérdate de fijarte en cuál de las dos partes es a la que se refiere uno. El ángulo más pequeño entre laslíneas es obtuso si mide entre 90° y 180°.
3- Algunas cosas importantes que debes saber
Los ángulos que miden 180° se denominan ángulos extendidos o llanos.
Los ángulos que miden más de 180° y menos de 360° se denominan ángulos cóncavos.
Los ángulos que miden 360° se denominan ángulos completos.
El ángulo nulo está formado por dos semirrectas coincidentes, por lo que su abertura es nula, es decir, 0°.
Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas. Por ejemplo:
4- Cómo medir ángulos usando el transportador
Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo generalmente se utiliza el transportador.
Un transportador es un instrumento en forma circular o semicircular y graduado angularmente.
Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un grado corresponde a la medida del ángulo que se forma cuando una circunferencia se divide en 360 partes iguales.
Los grados indican la separación de los lados del ángulo. Mientras más separados están los rayos que forman el ángulo, mayor esla cantidad de grados que este mide.
4.1- Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes:
1° Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo.
2° Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto hacia la derecha en la escala interna.
4.2- Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes:
1° Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°.
2° Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.
